Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(10，0)，以OA為直徑在第一象限內(nèi)作半圓C，點(diǎn)B是該半圓周上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、AB，并延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，使DB＝AB，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E為垂足，連結(jié)CF．

(1)當(dāng)∠AOB＝30°時(shí)，求弧AB的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)DE＝8時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結(jié)BC， 　　∵A(10，0)，∴OA＝10 ，CA＝5， 　　∵∠AOB＝30°， 　　∴∠ACB＝2∠AOB＝60°， 　　∴弧AB的長(zhǎng)＝　　4分 　　(2)連結(jié)OD， 　　∵OA是⊙C直徑，∴∠OBA＝90°， 　　又∵AB＝BD， 　　∴OB是AD的垂直平分線， 　　∴OD＝OA＝10， 　　在Rt△ODE中， 　　OE＝， 　　∴AE＝AO－OE＝10－6＝4， 　　由∠AOB＝∠ADE＝90°－∠OAB，∠OEF＝∠DEA， 　　得△OEF∽△DEA， 　　∴，即，∴EF＝3　　4分 　　(3)設(shè)OE＝x， 　�、佼�(dāng)交點(diǎn)E在O，C之間時(shí)，由以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角 　　形與△AOB相似，有∠ECF＝∠BOA或∠ECF＝∠OAB， 　　當(dāng)∠ECF＝∠BOA時(shí)，此時(shí)△OCF為等腰三角形，點(diǎn)E為OC 　　中點(diǎn)，即OE＝， 　　∴E1(，0)； 　　當(dāng)∠ECF＝∠OAB時(shí)，有CE＝5－x，AE＝10－x， 　　∴CF∥AB，有CF＝， 　　∵△ECF∽△EAD， 　　∴，即，解得：， 　　∴E2(，0)； 　�、诋�(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)， 　　∵∠ECF＞∠BOA， 　　∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO， 　　連結(jié)BE， 　　∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線， 　　∴BE＝AB＝BD， 　　∴∠BEA＝∠BAO， 　　∴∠BEA＝∠ECF， 　　∴CF∥BE，∴， 　　∵∠ECF＝∠BAO，∠FEC＝∠DEA＝Rt∠， 　　∴△CEF∽△AED，∴， 　　而AD＝2BE，∴， 　　即，解得，＜0(舍去)， 　　∴E3(，0)； 　　③當(dāng)交點(diǎn)E在點(diǎn)O的左側(cè)時(shí)， 　　∵∠BOA＝∠EOF＞∠ECF． 　　∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF＝∠BAO 　　連結(jié)BE，得BE＝＝AB，∠BEA＝∠BAO 　　∴∠ECF＝∠BEA， 　　∴CF∥BE， 　　∴， 　　又∵∠ECF＝∠BAO，∠FEC＝∠DEA＝Rt∠， 　　∴△CEF∽△AED，∴， 　　而AD＝2BE，∴， 　　∴，解得，＜0(舍去)， 　　∵點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，∴E4(，0)， 　　綜上所述：存在以點(diǎn)E、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似，此時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為： 　　(，0)、(，0)、(，0)、(，0)　　4分