Question

如圖，在面積為48的直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥于AB于點(diǎn)D，點(diǎn)M、F、E分別在線段CD、CA、AD上，點(diǎn)N、G、H分別在線段DC、CB、BD上（M、N重合），且四邊形DMFE，DNGH都為矩形，求兩矩形面積和的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專(zhuān)題：常規(guī)題型

分析：根據(jù)平行可證

FG

AB

+

EF

CD

=1，設(shè)

FG

AB

=x，可以求得兩矩形面積和的函數(shù)式，即可求得最大值．

解答：解：∵四邊形DMFE，DNGH都為矩形，
∴

FG

AB

=

CF

AC

，

AF

AC

=

EF

CD

，
∵CF+AF=AC，
∴

FG

AB

+

EF

CD

=1，
設(shè)

FG

AB

=x，則

EF

CD

=1-x，
∵△ABC面積為48，
∴AB•CD=96．
∴兩矩形面積和=EF•FG=AB•x•CD•（1-x）=96x（1-x）=-96(x-

1

2

)2+24．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了函數(shù)式求最值問(wèn)題．