Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是AB的三等分點(diǎn)，且

BD

AB

=

1

3

，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，BE、CD交于點(diǎn)F，則∠EFC的正切值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題

分析：首先過(guò)E作EM∥AB，然后證明DB=EM，再證明△BDF≌△EMF，從而得到FB=FE，設(shè)AB=x，再表示出BE長(zhǎng)、進(jìn)而得到EF長(zhǎng)，然后再根據(jù)正切定義可得答案．

解答：解：過(guò)E作EM∥AB，
∵EM∥AB，
∴

EM

AD

=

EC

AC

，∠BEM=∠ABE，
∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE=EC=

1

2

AC，∠BEC=90°，
∴EM=

1

2

AD，
∵

BD

AB

=

1

3

，
∴BD=

1

2

AD，
∴DB=EM，
在△DBF和△MEF中

∠DFB=∠MFE ∠DBE=∠FEM DB=EM

，
∴△BDF≌△EMF（AAS），
∴FB=FE，
設(shè)AB=x，則BC=AC=x，AE=EC=

1

2

x，
BE=

CB2-CE2

=

3

2

x，
∵FB=FE，
∴EF=

3

4

x，
∴∠EFC的正切值為

EC

EF

=

1 2 x

3 4 x

=

2 3

3

，
故答案為：

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，關(guān)鍵是證明FB=EF．