Question

如圖1，⊙O的直徑CD=4，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=2，BC=6，P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證OA⊥AB；

(2)若△APB的面積記為S，求S的最大值與最小值，并分別指出此時(shí)P點(diǎn)所在的位置；

(3)若以P為圓心，BP長(zhǎng)為半徑作圓，是否存在⊙P與⊙O相切？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

證明：（1）過A點(diǎn)作AE⊥BC于E，               1分

∵AD⊥DC，BC⊥DC∴  四邊形ADCE為矩形      1分

  ∴ EC=AD=2  ∴BE=6-2=4  AE=DC=4

∴△ABE為等腰直角三角形∴∠B=45°         1分    

 ∵△ADO為等腰直角三角形  ∴∠AOD=45°

∴∠AOC=135°   ，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°∴∠OAC=90°  ∴OA⊥AB     1分

（2） 設(shè)AO及延長(zhǎng)線交圓于P_1、 P₂點(diǎn)，過P₁作P₁F∥AB交BC于F點(diǎn)，     

         ∵OA⊥AB ∴P₁到AB的距離最短，P₂到AB的距離最長(zhǎng)        2分

  ∵  △ADO為等腰直角三角形  ∴AO=2  AP₁=2-2，AP₂=2+2    2分

由（1）可得AB=4，所以S的最小值為8+4，最大值為8-4      2分

  （3）不存在⊙P與⊙O相切      1分

   ∵ BO=，則BP的最大值為=+2，最小值為=-2，OP=2，    1分

  ∵P在圓上，所以兩圓不可能外切                1分

   ∵兩圓的半徑之差的范圍是，而d=2<,

∴不存在相切的可能性