Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（一1，4），其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，與x軸分別交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點(diǎn)（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）設(shè)此拋物線與y軸交于D點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)，若△PBO的面積為△DOC面積的倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先認(rèn)真閱讀題目要求，畫(huà)出如下圖所示，根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，4）列出關(guān)系式4=a-b+c；根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為列出關(guān)系式；與x軸分別交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點(diǎn)（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13，那么可得到方程ax²+bx+c=0，因此x₁+x₂=，x₁•x₂=，則利用完全平方式可得．聯(lián)立三式組成方程組，可解得a、b、c的值，則拋物線的解析式即可確定．再將解析式寫(xiě)出頂點(diǎn)式，則頂點(diǎn)坐標(biāo)E也就確定．
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（m、n）．首先結(jié)合圖形，求得B、C、D點(diǎn)的坐標(biāo)．再用n表示出△PBO的面積，并求得△DOC面積的面積，根據(jù)兩個(gè)三角形的面積比，求得n的取值，則m的取值，也就可求出．
解答：解：（1）由題意得
??
將①②代入②得      a=-1，則b=1，c=6
∴該拋物線的解析式為y=-x²+x+6=
∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為

（2）拋物線與y軸交點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x=0，則y=6，即D（0，6）
∵-x²+x+6=0?-（x-3）（x+2）=0，即x=-2或3
∴B（-2，0）、C（3，0）
設(shè)P的坐標(biāo)為（m、n）


又∵，即
∴n=6或-6
當(dāng)n=6時(shí)，則6=-m²+m+6，解得m=0或1；
當(dāng)n=-6時(shí)，則-6=-m²+m+6，解得m=-3或4．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）
答：（1）該拋物線的解析式為y=-x²+x+6，頂點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．