Question

如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8,將紙片折疊,使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上,BG=10.
(1)當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí),如圖(1).求△EFG的面積.

(2)當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí),如圖(2).證明四邊形BGEF為菱形,并求出折痕GF的長. 

Answer 1

解:(1)過點(diǎn)G作GH⊥AD,

則四邊形ABGH為矩形,
∴GH=AB=8,AH=BG=10,
由圖形的折疊可知△BFG≌△EFG,
∴EG=BG=10,∠FEG=∠B=90°；∴EH=6,AE=4,∠AEF+∠HEG=90°,
∵∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠HEG=∠AFE,
又∵∠EHG=∠A=90°,
∴△EAF∽△EHG,
∴,∴EF=5,
∴S_△EFG=EF·EG=×5×10=25.
(2)由圖形的折疊可知四邊形ABGF≌四邊形HEGF,
∴BG=EG,AB=EH,∠BGF=∠EGF,
∵EF∥BG，∴∠BGF=∠EFG,∴∠EGF =∠EFG,∴EF=EG,
∴BG=EF,∴四邊形BGEF為平行四邊形,
又∵EF=EG,∴平行四邊形BGEF為菱形；
連結(jié)BE，BE、FG互相垂直平分，

在Rt△EFH中,EF=BG=10,EH=AB=8,
由勾股定理可得FH=AF=6，∴AE=16，
∴BE==8，∴BO=4，
∴FG=2OG=2=4。

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變和矩形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形和菱形的判定和性質(zhì)求解．