Question

BD、CE分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，過(guò)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別是F、G，易證FG=（AB+BC+AC）．
（1）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，F(xiàn)G與△ABC三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由；
（2）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線(xiàn)，F(xiàn)G與△ABC三邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，
∴∠BAF=∠BMF
∴MB=AB
∴AF=MF
同理：CN=AC，AG=NG，
∴FG=MN，
=（BM+CN-BC），
=（AB+AC-BC），
∴線(xiàn)段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=（AB+AC-BC）；

（2）延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N，
同樣由（1）中可知，MB=AB，AF=MF，CN=AC，AG=NG
∴FG=MN，
=（CN+BC-BM），
=（AC+BC-AB）．
∴線(xiàn)段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系是FG=（AC+BC-AB）．
分析：（1）先延長(zhǎng)AF、AG，與直線(xiàn)BC相交于M、N，再由AF⊥BD，∠ABF=∠MBF，得到∠BAF=∠BMF，進(jìn)一步推出MB=AB，AF=MF，同理CN=AC，AG=NG即可得出答案；
（2）與（1）的方法類(lèi)同，即可證出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線(xiàn)定理，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，解此題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)轉(zhuǎn)化成三角形的中位線(xiàn)．