Question

設(shè)x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m=

 

時(shí)，x₁²+x₂²有最小值，最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：由根與系數(shù)的關(guān)系知x₁²+x₂²是關(guān)于m的二次函數(shù)，是否是在拋物線的頂點(diǎn)處取得最小值，就要看自變量m的取值范圍，從判別式入手．

解答：解：∵x₁、x₂是方程2x²-4mx+2m²+3m-2=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴△=（-4m）²-4×2×（2m²+3m-2）≥0，可得m≤

2

3

，
又x₁+x₂=2m，x₁x₂=

2m2+3m-2

2

，
∴x₁²+x₂²=2（m-

3

4

）²+

7

8

=2（

3

4

-m）²+

7

8

，
∵m≤

2

3

，
∴

3

4

-m＞0，
∴當(dāng)m=

2

3

時(shí)，x₁²+x₂²取得最小值為2（

3

4

-

2

3

）²+

7

8

=

8

9

．
故答案為

2

3

，

8

9

．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)最值問題及根的判別式，難度較大，關(guān)鍵掌握：當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)不在該區(qū)間內(nèi)，二次函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)兩端點(diǎn)處取得．