【題目】已知:在中,,點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與重合).以為邊作正方形,連接.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),求證:.
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),其他條件不變,請(qǐng)直接寫(xiě)出三條線段之間的關(guān)系;
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)在線段的反向延長(zhǎng)線上時(shí),且點(diǎn)分別在直線的兩側(cè).其他條件不變,若連接正方形對(duì)角線,交點(diǎn)為,連接,探究的形狀,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)CF=BC+CD;(3)是等腰三角形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AF,∠DAF=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=CF;
(2)與(1)同理可得BD=CF,然后結(jié)合圖形可得CF=BC+CD;
(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=45°,再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABD=135°,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠ABD,再求出∠FCD=90°,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC=DF,再根據(jù)正方形的對(duì)角線相等求出OC=OA,從而得到△AOC是等腰三角形.
(1) ∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
,
,
,
在和中,
,
,
;
(2),理由如下:
∵四邊形ADEF是正方形,
∴AD=AF,∠DAF=90°,
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD,∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+90°,
,
在和中,
,
,
,
∵BD=BC+CD,
∴CF=BC+CD;
(3),
,
則,
四邊形是正方形,
,
,
,
,
在和中,,
,
,
,
則為直角三角形,
正方形中,為中點(diǎn),
,
在正方形中,,
,
是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】九(1)班組織班級(jí)聯(lián)歡會(huì),最后進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié),每名同學(xué)都有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),抽獎(jiǎng)方案如下:將一副撲克牌中點(diǎn)數(shù)為“2”,“3”,“3”,“5”,“6”的五張牌背面朝上洗勻,先從中抽出1張牌,再?gòu)挠嘞碌?/span>4張牌中抽出1張牌,記錄兩張牌點(diǎn)數(shù)后放回,完成一次抽獎(jiǎng),記每次抽出兩張牌點(diǎn)數(shù)之差為,按表格要求確定獎(jiǎng)項(xiàng).
(1)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出甲同學(xué)獲得一等獎(jiǎng)的概率;
(2)是否每次抽獎(jiǎng)都會(huì)獲獎(jiǎng),為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣2x+8的圖象與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸,垂足為點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)C作CB⊥y軸,垂足為點(diǎn)C,兩條垂線相交于點(diǎn)B.
(1)線段AB,BC,AC的長(zhǎng)分別為AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折疊圖1中的△ABC,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,再將折疊后的圖形展開(kāi),折痕DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD,如圖2.
請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一題作答,我選擇 題.
A:①求線段AD的長(zhǎng);
②在y軸上,是否存在點(diǎn)P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
B:①求線段DE的長(zhǎng);
②在坐標(biāo)平面內(nèi),是否存在點(diǎn)P(除點(diǎn)B外),使得以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小賢為了體驗(yàn)四邊形的不穩(wěn)定性,將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD,B與D兩點(diǎn)之間用一根橡皮筋拉直固定,然后向右扭動(dòng)框架,觀察所得四邊形的變化,下列判斷錯(cuò)誤的是( )
A. 四邊形ABCD由矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?/span> B. BD的長(zhǎng)度增大
C. 四邊形ABCD的面積不變 D. 四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,李老師給出如下定義:如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半,那么稱(chēng)三角形為“智慧三角形”.
理解:(1)如圖,已知是⊙上兩點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫A上找出滿(mǎn)足條件的點(diǎn),使為“智慧三角形”(畫(huà)出點(diǎn)的位置,保留作圖痕跡);
(2)如圖,在正方形中, 是的中點(diǎn), 是上一點(diǎn),且,試判斷是否為“智慧三角形”,并說(shuō)明理由;
運(yùn)用:(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,⊙的半徑為,點(diǎn)是直線上的一點(diǎn),若在⊙上存在一點(diǎn),使得為“智慧三角形”,其面積的最小值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,△ACD沿AD折疊,使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處.
(1)求證:△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知線段a和線段AB ( a <AB).
(1)以AB為一邊,畫(huà)△ABC ,使AC a , A=50 ,用直尺、圓規(guī)作出△ABC邊BC的垂直平分線,分別與邊AB、BC 交于點(diǎn)D、E,聯(lián)結(jié)CD ;(不寫(xiě)畫(huà)法,保留作圖痕跡)
(2)在(1)中,如果AB5 ,AC3 ,那么△ADC 的周長(zhǎng)等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)C在線段AB上,AC = 8 cm,CB = 6 cm,點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn).
(1)求線段MN的長(zhǎng).
(2)若C為線段AB上任意一點(diǎn),滿(mǎn)足AC+CB=a(cm),其他條件不變,你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎?并說(shuō)明理由.
(3)若C在線段AB的延長(zhǎng)線上,且滿(mǎn)足AC-CB=b(cm),M、N分別為AC、BC的中點(diǎn),你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎?請(qǐng)畫(huà)出圖形,寫(xiě)出你的結(jié)論,并說(shuō)明理由.
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