Question

分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠ACB＝90°、∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF、CF．

（1）試說明AC＝EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；

（3）找出圖中除△ACD、△ABE以外的等邊三角形，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；（3）△CBF為等邊三角形

【解析】

試題分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明AC=EF；

（2）根據(jù)（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形；

（3）先證得BC=BF，∠CBF=60°，即可證得△CBF為等邊三角形.

（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，

∴AB=2BC，

又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，

∴AB=2AF

∴AF=CB，

∴△AFE≌△BCA（HL），

∴AC=EF；

（2）由（1）知道AC=EF，

而△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°

∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，

而EF⊥AB，

∴EF∥AD，

∴四邊形ADFE是平行四邊形；

（3）由（1）（2）得BC=BF，∠CBF=60°

∴△CBF為等邊三角形.

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評：全等三角形的判定和性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考中比較常見的知識點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.