Question

如圖，Rt△ADE≌Rt△BEC，∠A=∠B=90°，使A、E、B在  同一直線上，連結(jié)CD．
（1）求證：∠1=∠2=45°
（2）若AD=3，AB=7，請求出△ECD的面積．
（3）若P為CD的中點，連結(jié)PA、PB．試判斷△APB的形狀，并證明之．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由全等三角形的性質(zhì)就可以得出DE=EC，∠DEC=90°，就可以得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)就可以得出AD=BE，AE=BC，由勾股定理就可以求出ED的值而得出結(jié)論；
（3）連結(jié)PE，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出PD=PC=PE，就可以得出△ADP≌△BEP，進而結(jié)論．

解答：解：（1）∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，DE=EC，AD=BE，AE=BC，∠AED=∠BCE．
∴∠1=∠2．
∵∠DAE=∠ABC=90°，
∴∠3+∠AED=90°，
∴∠4+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠1=∠2=45°；
（2）∵AD=3，AB=7，
∴AE=4．
在Rt△AED中，由勾股定理，得
DE=5，
∴EC=5，
∴S_△CED=

5×5

2

=12.5；
（3）△APB為等腰直角三角形，
連結(jié)PE，
∵P是CD的中點，
∴PD=PC=

1

2

CD．
∵ED=EC，∠DEC=90°，
∴∠5=

1

2

∠DEC，∠EPD=90°，PE=

1

2

CD．
∴∠5=45°．PE=PD．
∴∠5=∠1．
∴∠5+∠4=∠1+∠3，
∴∠PEB=∠PDA．
在△BEP和△ADP中，

BE=AD ∠PEB=∠PDA PE=PD

，
∴△BEP≌△ADP（SAS），
∴PA=PB，∠APD=∠BPE．
∵∠APD+∠APE=90°，
∴∠BPE+∠APE=90°，
∴∠APB=90°．
∵PA=PB，
∴△APB為等腰直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，等腰直角三角形的判定的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．