Question

如圖，點E是直線y=x與雙曲線y=

k

x

在第一象限的交點，且OE=4

2

．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）將直線y=x向上平移a（a＞0）個單位后與雙曲線y=

k

x

（x＞0）交與點F，作FM⊥y軸于M，EN⊥x軸于N，完成圖并證明：無論當a取何值，四邊形ENMF是梯形．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）設E（x，x），由OE=4

2

，根據(jù)兩點間的距離公式得到x²+x²=32，解方程求出x的值，得到點E的坐標，即可求出雙曲線的解析式；
（2）先由直線平移的規(guī)律可知將直線y=x向上平移a（a＞0）個單位后得到直線y=x+a．設F（x，x+a），則x+a=

16

x

，再分別求出直線EF與直線MN的斜率，及EF與MN的長度，證明EF∥MN，且EF≠MN即可．

解答：解：（1）設E（x，x），則x＞0．
∵OE=4

2

，
∴x²+x²=32，
解得x=4，
∴E（4，4），
∵點E在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=4×4=16，
雙曲線的解析式為y=

16

x

；

（2）將直線y=x向上平移a（a≠0）個單位后得到直線y=x+a．
設F（x，x+a），則M（0，x+a）．
∵點F在雙曲線y=

16

x

上，
∴x+a=

16

x

．
∵E（4，4），F(xiàn)（x，x+a），
∴直線EF的斜率為

x+a-4

x-4

=

16 x -4

x-4

=-

4

x

，
EF²=（x-4）²+（x+a-4）²=（x-4）²+（

16

x

-4）²=（

16

x

）²+16+x²-8x-

128

x

+16=（

16

x

）²+16+（x+

16

x

）（x-8），
∵a＞0，
∴x＜4，
∵x＞0，
∴0＜x＜4，
∴（x+

16

x

）（x-8）＜0，
∴EF²=（

16

x

）²+16+（x+

16

x

）（x-8）＜（

16

x

）²+16．
∵M（0，x+a），N（4，0），
∴直線MN的斜率為

x+a-0

0-4

=

16 x

-4

=-

4

x

，
MN²=（0-4）²+（x+a）²=（

16

x

）²+16．
∵直線EF的斜率=直線MN的斜率，a＞0，
∴EF∥MN，
∵EF＜MN，
∴無論當a取何值，四邊形ENMF是梯形．

點評：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，兩點間的距離公式，直線平移的規(guī)律，梯形的判定，綜合性較強，有一定難度．