【題目】已知二次函數(shù)中x和y的部分對應值如下表:

x … ﹣1 0 1 2 3 …

y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)如圖,點P是直線BC下方拋物線上一動點,當點P運動到什么位置時,四邊形ABPC的面積最大?求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積;

(3)在拋物線上,是否存在一點Q,使QBC中QC=QB?若存在請直接寫出Q點的坐標.

【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)P(,﹣),;(3)Q1,﹣)、Q2,﹣).

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;

(2)首先求得直線BC的解析式,過P作PNx軸交直線BC于點M,然后根據(jù)SBPC=SPCM+SPMB=PMON+PMNB,即可把SBPC表示成P的橫坐標x的函數(shù),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值;

(3)QC=QB,則Q就是線段BC的中垂線與二次函數(shù)的交點,首先求得BC的解析式,然后解方程組即可.

解:(1)設y=a(x+1)(x﹣3)把(0,﹣3)代入可得:﹣3=a(0+1)(0﹣3)

解得:a=1則y=(x+1)(x﹣3)=x2﹣2x﹣3,

二次函數(shù)的解析式為:y=x2﹣2x﹣3;

(2)S四邊形ABPC=SABC+SBPC=×1×3+SBPC,

設直線BC的解析式是y=kx+b,

解得:,

則直線BC的解析式是:y=x﹣3.

過P作PNx軸交直線BC于點M,設P(x,x2﹣2x﹣3)則M(x,x﹣3)

MP=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x

SBPC=SPCM+SPMB=PMON+PMNB

=PMOB=(﹣x2+3x)×3=﹣x2+x=﹣(x﹣2+(0<x<3).

當x=時,SBPC的最大值為,則 S四邊形ABPC的最大值為:+=,

此時P(,﹣);

(3)BC的中點坐標是(,﹣).

設線段BC的中垂線的解析式是y=﹣x+c,則﹣+c=﹣,

解得c=0,

即BC的中垂線的解析式是y=﹣x.

根據(jù)題意得:,

解得:

則Q的坐標是:Q1,﹣)、Q2,﹣).

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