【題目】通過類比聯(lián)想,引申拓展研究典型題目,可達(dá)到解一題知一類的目的.下面是一個案例,先閱讀再解決后面的問題:

原題:如圖1,點E,F分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,,連接EF,求證:EF=BE+DF.

解題由于AB=AD,我們可以延長CD到點G,使DG=BE,易得,可證.再證明,得EF=FG=DG+FD=BE+DF.

問題(1):如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,E,F分別是邊BCCD上的點,且,求證:EF=BE+FD;

問題(2):如圖3,在四邊形ABCD中,,AB=AD=1,點E,F分別在四邊形ABCD的邊BC,CD上的點,且,求此時的周長

【答案】1,見解析;(2周長為.

【解析】

1)在CD的延長線上截取DG=BE,連接AG,證出△ABE≌△ADG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE=DG,再證明△AEF≌△AGF,得EF=FG,即可得出答案;
2)連接AC,證明△ABC≌△ADCSSS).得∠DAC=BAC,同理由(1)得EF=BE+DF,可計算△CEF的周長.

證明:(1)在CD的延長線上截取DG=BE,連接AG,如圖2,

∵∠ADF=90°,∠ADF+∠ADG=180°,
∴∠ADG=90°,
∵∠B=90°,
∴∠B=∠ADG=90°,
∵BE=DG,AB=AD,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,AG=AE,
∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠ABE=∠BAD,
∵∠EAF=∠BAD,
∵∠EAG=∠EAG=(∠EAF+∠FAG),
∴∠EAF=∠FAG,
又∵AF=AF,AE=AG,
∴△AEF≌△AFG(SAS),
∴EF=FG=DF+DG=EB+DF;
(2)解:連接AC,如圖3,

∵AB=AD,BC=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠DAC=∠BAC,
∴∠BAC=∠BAD=60°,
∵∠B=90°,AB=1,
∴在Rt△ABC中,AC=2,BC===,
由(1)得EF=BE+DF,
∴△CEF的周長=CE+CF+EF=2BC=2

練習(xí)冊系列答案
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(2)若點C為直線AB上任一點,則PQ長度是否為常數(shù)?若是,請求出這個常數(shù);若不是,請說明理由;

(3)若點C在點A左側(cè),同時點P在線段AB上(不與端點重合),請判斷2AP+CQ-2PQ1的大小關(guān)系,并說明理由。

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1)求證: ;

2)若AB=4,BAE=30°,求AE的長.

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