Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D =∠BCD = 90°，∠B = 60°，AB = 6，AD = 9，點E是CD上的一個動點（E不與D重合），過點E作EF∥AC，交AD于點F（當E運動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點D的對應點是點G,如圖①．

⑴ 求CD的長及∠1的度數(shù)；
⑵ 設DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數(shù)關系式，并求x為何值時，y的值最大？最大值是多少？
⑶ 當點G剛好落在線段BC上時,如圖②,若此時將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個單位，當E點移動到線段AB上時運動停止.設平移時間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時刻t，使得△ABE為等腰三角形？若存在，請直接寫出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

30；當時，y的值最大為；

解析試題分析：⑴ 過點A作AH⊥BC于點H ，則AH=AB·=

∴CD=AH= 
∵   ∴∠CAD=30°
∵EF∥AC   ∴∠1=∠CAD=30°      4分
⑵當點G恰好在BC上時，由折疊可知 △FGE≌△FDE  

∴ GE="DE" =x，∠FEG=∠FED=60°，∴∠GEC=60°
因為△CEG是直角三角形， ∴∠EGC="30°"
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得 , ∴x=
① 當時

∴當x=時， =
② 當＜x≤時，設FG，EG分別交BC于點M、N

∵DE=x  ∴EC=，NE=2
∴NG=GE－NE==
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°
∴MG==
 


 
∴當時，= 
綜合兩種情形：由于＜ ∴ 當時，y的值最大為  9分
(3)由題意可知:AB=6,分三種情況：
①當AE=BE時,t=9
②當AB=AE時, t=9－2
③當BA=BE時，t=12－
考點：二次函數(shù)的綜合題
點評：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動點問題和最小值問題相結合，有較大的思維跳躍，考查了同學們的應變能力和綜合思維能力，是一道好題．