Question

如圖，反比例函數(shù)y₁=

m

x

與一次函數(shù)y₂=kx+b的圖象交于兩點(diǎn)A（n，-1）、B（1，2）．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）根據(jù)圖象，直接回答：當(dāng)x取何值時(shí)，y₁≥y₂？
（3）連接OA、OB，求△AOB的面積；
（4）在反比例函數(shù)的圖象上找點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形，這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？并直接寫出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先把B（1，2）代入y₁=

m

x

求出m，則可確定反比例函數(shù)解析式；再把A（n，-1）代入反比例解析式求出n得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式；
（2）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)0≤x＜1或x≥-2時(shí)，反比例函數(shù)圖象都在一次函數(shù)圖象上方；
（3）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用△AOB的面積=△AOC的面積+△COB的面積進(jìn)行計(jì)算；
（4）由于點(diǎn)A（-2，-1）與B（1，2）關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，所以P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，△POB為等腰三角形；當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，△POB為等腰三角形，然后寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把B（1，2）代入y₁=

m

x

得m=1×2=2，
所以反比例函數(shù)解析式為y₁=

2

x

；
把A（n，-1）代入y₁=

2

x

得-n=2，解得n=-2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），
把A（-2，-1）、B（1，2）代入y₂=kx+b得

-2k+b=-1 k+b=2

，解得

k=1 b=1

，
所以一次函數(shù)解析式為y₂=x+1；
（2）當(dāng)0≤x＜1或x≥-2時(shí)，y₁≥y₂；
（3）設(shè)AB與y軸交于C點(diǎn)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
所以△AOB的面積=△AOC的面積+△COB的面積=

1

2

×1×2+

1

2

×1×1=

3

2

；
（4）點(diǎn)A（-2，-1）與B（1，2）關(guān)于直線y=-x對(duì)稱，所以P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，△POB為等腰三角形；
當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，△POB為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
所以滿足條件的P點(diǎn)有2個(gè)，即（2，1），（-2，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及觀察函數(shù)圖象的能力．