Question

已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A、C和x軸上的另一點B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式，并畫出函數(shù)圖象略圖；
（2）在直線AC上求點P，使以點A、B、P為頂點的三角形與△AOC相似；
（3）設(shè)拋物線的頂點為M，在拋物線上是否存在點Q，使△ABQ的面積等于△AMC面積的8倍？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當x=0時，y=4，當y=0時，x=-2，分別求出A，B兩點坐標，再代入解析式即可求出；
（2）過B作BP⊥x軸，交直線AC于點P₁，則OC∥BP₁．△ABP∽△AOC，即可求出P點坐標，再過P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂與Rt△ACO中，求出Rt△ABP₂∽Rt△ACO 進而求出P點坐標；
（3）根據(jù)S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=

3

2

，以及S_△ABQ=

1

2

AB•|y_Q|=8×

3

2

，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8，即可得出Q點的坐標．

解答：解：（1）由于直線y=2x+4與x軸、y軸相交于A、C兩點，
∴當x=0時，y=4．  當y=0時，x=-2．
∴點A的坐標為（-2，0），點C的坐標為（0，4）．
又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）
經(jīng)過A（-2，O），B（1，O），C（O，4）三點，
拋物線的解析式為：y=-2x²-2x+4．
如圖，畫出函數(shù)圖象略圖．

（2）（i）由于OC⊥AO，所以過B作BP⊥x軸，交直線AC于點P₁，
則OC∥BP₁．△ABP∽△AOC．
∵P_l點的橫坐標為1，把x=1代入y=2x+4得y=6．
∴P₁點的坐標為（1，6）．
（ii）∵△AOC為直角三角形，且AO=2，OC=4，∴AC=2

5

．
過P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂與Rt△ACO中，∠CA0是公共角，
∴Rt△ABP₂∽Rt△ACO  

AB

AC

=

AP

AO

，AP₂=

3 5

5

過B點作P₂D⊥X軸于D，則Rt△AP₂D∽Rt△ABP₂．

AP2

AB

=

AD

AP2

∴AD=

3

5

，OD=OA-AD=

7

5

，
∴P₂點的橫坐標為-

7

5

把X=-

7

5

代入y=2x+4得y=

6

5

．P₂點的坐標為（-

7

5

，

6

5

）；

（3）存在．
拋物線y=-2x²-2x+4頂點M的坐標為（-

1

2

，

9

2

）．
假設(shè)在拋物線上存在點Q，使．S_△ABQ=8S_△AMC．
設(shè)Q的坐標為（x_Q，y_Q），對稱軸X=-

1

2

與x軸交于點F．
則S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=

3

2

，
S_△ABQ=

1

2

AB•|y_Q|=8×

3

2

，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8．
當y_Q=8時，-2x²-2x+4=8，即：x²+x+2=O，
∵△=-7＜O，∴此方程無解．
當y_Q=-8時，-2x²-2x+4=-8，即：x²+x-6=0，解之得x₁=-3，x₂=2，
∴O點的坐標為（-3，-8）或（2，-8）．
∴在拋物線上存在點Q₁（-3，-8）或Q₂（2，-8），
使△ABQ的面積等于△AMC面積的8倍．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識，利用數(shù)形結(jié)合進行分析得出是解題關(guān)鍵．