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已知，點Q是正方形ABCD內的一點，連QA、QB、QC．
（I）將△QAB繞點B順針旋轉90°到△Q'CB的位置（如圖①所示）．若QA=1，QB=2，∠AQB=135°，求QC的長．
（II）如圖②，若QA2+QC2=2QB2，請說明點Q必在對角線AC上．

解：（I）解：△BQ'C由△BQA旋轉得到，
∴Q'C=QA=1，BQ'=BQ=2，∠BQ'C=∠BQA=135°，∠Q'BC=∠ABQ，
∴∠QBQ'=∠ABC=90°
連接QQ'，則∠QQ'B=∠Q'QB=45°
∴．∠QQ'C=135°-45°=90°
在Rt△QQ'C中，

（II）證明：過Q點作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N
設正方形的邊長為a，QM=x，QN=y，
則AM=a-y，CN=a-x
在Rt△QMA中，QA2=QM2+AM2=x2+（a-y）2
在Rt△QNC中，QC2=QN2+CN2=y2+（a-x）2
在Rt△QMB中，QB2=QM2+BM2=x2+y2
∵QA2+QC2=2QB2
∴x2+（a-y）2+y2+（a-x）2=2（x2+y2）
得a=x+y
∴AM=QM∴∠MAQ=45°
∴Q點在對角線AC上
分析：（I）△BQ'C由△BQA旋轉得到，△QQ'C是直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（II）過Q點作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，證明∠MAQ=45°即可．
點評：本題主要考查了正方形的性質以及旋轉的性質，正確證得：△QQ'C是直角三角形，以及把證Q點在對角線AC上轉化為證明求角度的大小問題，是解題關鍵．
練習冊系列答案
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已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC．
（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖1）．
①設AB的長為a，PB的長為b（b＜a），求△PAB旋轉到△P′CB的過精英家教網程中邊PA所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長；
（2）如圖2，若PA2+PC2=2PB2，請說明點P必在對角線AC上．

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（1）設AB的長為a，PB的長為b（b＜a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積；
（2）若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長．

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已知，點Q是正方形ABCD內的一點，連QA、QB、QC．
（I）將△QAB繞點B順針旋轉90°到△Q'CB的位置（如圖①所示）．若QA=1，QB=2，∠AQB=135°，求QC的長．
（II）如圖②，若QA2+QC2=2QB2，請說明點Q必在對角線AC上．
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