Question

（本題滿分10分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是BC上一定點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，以2cm/s的速度沿C→A→B方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從D出發(fā)，以1cm/s的速度沿D→B方向運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P出發(fā)5 s后,點(diǎn)Q才開(kāi)始出發(fā)，且當(dāng)一個(gè)點(diǎn)達(dá)到B時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止．圖2是當(dāng)時(shí)△BPQ的面積S（ cm2）與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象．

（1）CD = , ；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，t為何值時(shí)，使得△BPQ與△ABC為相似？

（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時(shí)t的值．

 

Answer 1

（1）CD=2，a=10．8；（2）4．25秒或6秒；（3）5秒或秒

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，△BPQ的面積為18，

∴•6•BD=18，解得BD=6，

∴CD=BC﹣BD=2，

當(dāng)t=5s時(shí)，AP=2×5﹣6=4，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，點(diǎn)P在AB上如圖①，作PH⊥BC于H，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

∴AB==10，

∵PH∥AC，

∴△BPH∽△BAC，

∴=，即=，解得PH=，

∴S△PBQ=×6×=，

即a=；

故答案為：2，；

（2）點(diǎn)P在邊AB上，

當(dāng)3＜t≤5，點(diǎn)Q在D點(diǎn)，BP=16﹣2t，

若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，

∴=，即=，解得t=；

當(dāng)5＜t≤8，DQ=t﹣5，則BQ=8﹣2﹣（t﹣5）=11﹣t，BP=16﹣2t，

當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，如圖②，

∵△BPQ∽△BAC，

∴=，即=，解得t=3，不合題意舍去；

當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，△BPQ∽△BAC，如圖③，

∵△BPQ∽△BCA，

∴=，即=，解得t=6，

綜上所述，當(dāng)t為或6時(shí)，△BPQ與△ABC為相似；

（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，

當(dāng)BP=BQ，則16﹣2t=11﹣t，解得t=5；

當(dāng)PB=PQ，作PM⊥BC于M，如圖④，則BM=BQ=（11﹣t），

∵PM∥AC，

∴△BPM∽△BAC，

∴=，即=，解得t=，

綜上所述，當(dāng)△BPQ是以BP為腰的等腰三角形時(shí)t的值為5或．

考點(diǎn):1．相似形綜合題；2．動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象；3．勾股定理的應(yīng)用