Question

已知，在四邊形ABCD中．∠A=∠C=90゜．
（1）求證：∠ABC+∠ADC=180゜；
（2）如圖1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的外角，寫出BF與DE的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）由在四邊形ABCD中．∠A=∠C=90゜，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理，即可證得：∠ABC+∠ADC=180゜；
（2）延長DE交BF于G．易證∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，則可證得DE⊥BF．
（3）連接BD，易證∠NDC+∠MBC=180゜，則可得∠EDC+∠CBF=90゜，繼而可證得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，則可得DE∥BF．

解答：證明：（1）∵∠A=∠C=90゜，
∴在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=360°-∠A-∠C=180゜；

（2）DE⊥BF．
延長DE交BF于G，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠AB+∠CBM=180°，
∴∠ADC=∠CBM，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC外角，
∴∠CDE=

1

2

∠ADC，∠EBF=

1

2

∠CBM，
∴∠CDE=∠EBF．
∵∠DEC=∠BEG，
∴∠EGB=∠C=90゜，
∴DE⊥BF．

（3）DE∥BF，
連接BD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠NDC+∠MBC=180゜，
∵BF、DE分別平分∠ABC、∠ADC的外角，
∴∠EDC+∠CBF=90゜，
∴∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，
∴DE∥BF．

點(diǎn)評：此題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．