Question

【題目】如圖是一塊含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一個(gè)量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合，其量角器最外緣的讀數(shù)是從N點(diǎn)開始（即N點(diǎn)的讀數(shù)為0），現(xiàn)有射線CP繞著點(diǎn)C從CA順時(shí)針以每秒2度的速度旋轉(zhuǎn)到與△ACB外接圓相切為止．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．

（1）當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時(shí)，求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少？

（2）當(dāng)射線CP分別經(jīng)過△ABC的外心、內(nèi)心時(shí)，點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少？

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，連接BE，求證：BE＝CE．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）見解析

【解析】

（1）CP過△ABC外心時(shí)（即過O點(diǎn)）時(shí)，∠BCE＝60°，根據(jù)圓周角定理，則點(diǎn)E處的讀數(shù)是120°；當(dāng)CP過△ABC的內(nèi)心時(shí)，即CP平分∠ACB，則∠BCE＝45°，根據(jù)圓周角定理，則點(diǎn)E處的讀數(shù)是90°．

（2）由于每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)一樣，所以旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為90°2x，從而得出∠BOE的度數(shù)，也即可得出y與x的函數(shù)式．

（3）根據(jù)已知，知旋轉(zhuǎn)了15°，即可求得∠EBC＝∠BCE＝75°，從而證明結(jié)論．

（1）∵∠BCA＝90°，

∴△ABC的外接圓就是量角器所在的圓，

當(dāng)CP過△ABC外心時(shí)（即過O點(diǎn)），

∵∠CAB＝30°，

∴∠BCE＝60°，

∴∠BOE＝120°，即E處的讀數(shù)為120，

當(dāng)CP過△ABC的內(nèi)心時(shí)，∠BCE＝45°，∠EOB＝90°，

∴E處的讀數(shù)為90．

（2）旋轉(zhuǎn)x秒后，∠BCE的度數(shù)為902x，∠BOE的度數(shù)為180°4x，

故可得y與x的函數(shù)式為：y＝180°4x；

（3）在圖2中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí)，∠PCA＝2×7.5°＝15°，∠ECA＝∠EBA＝15°，

則∠BCE＝75°，

∵∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝∠BCE＝75°，

∴BE＝EC．