Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動點(不包括端點)，作∠AEF＝90°，使EF交矩形的外角平分線BF于點F，設(shè)C(m，n)．

(1)若m＝n時，如圖，求證：EF＝AE；

(2)若m≠n時，如圖，試問邊OB上是否還存在點E，使得EF＝AE？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

(3)若m＝tn(t＞1)時，試探究點E在邊OB的何處時，使得EF＝(t＋1)AE成立？并求出點E的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由題意得m＝n時，AOBC是正方形． 　　如圖，在OA上取點C，使AG＝BE，則OG＝OE． 　　∴∠EGO＝45°，從而∠AGE＝135°． 　　由BF是外角平分線，得∠EBF＝135°，∴∠AGE＝∠EBF． 　　∵∠AEF＝90°，∴∠FEB＋∠AEO＝90°． 　　在Rt△AEO中，∵∠EAO＋∠AEO＝90°， 　　∴∠EAO＝∠FEB，∴△AGE≌△EBF，EF＝AE． 　　(2)假設(shè)存在點E，使EF＝AE．設(shè)E(a，0)．作FH⊥x軸于H，如圖． 　　由(1)知∠EAO＝∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF． 　　∴FH＝OE，EH＝OA． 　　∴點F的縱坐標(biāo)為a，即FH＝a． 　　由BF是外角平分線，知∠FBH＝45° ，∴BH＝FH＝a． 　　又由C(m，n)有OB＝m，∴BE＝OB－OE＝m－a， 　　∴EH＝m－a＋a＝m． 　　又EH＝OA＝n，∴m＝n，這與已知m≠n相矛盾． 　　因此在邊OB上不存在點E，使EF＝AE成立． 　　(3)如圖，設(shè)E(a，0)，FH＝h，則EH＝OH－OE＝h＋m－a． 　　由∠AEF＝90°，∠EAO＝∠FEH，得△AOE∽△EHF， 　　∴EF＝(t＋1)AE等價于FH＝(t＋1)OE，即h＝(t＋1)a， 　　且，即， 　　整理得nh＝ah＋am－a2，∴． 　　把h＝(t＋1)a代入得， 　　即m－a＝(t＋1)(n－a)． 　　而m＝tn，因此tn－a＝(t＋1)(n－a)． 　　化簡得ta＝n，解得． 　　∵t＞1，∴＜n＜m，故E在OB邊上． 　　∴當(dāng)E在OB邊上且離原點距離為處時滿足條件，此時E(，0)．