Question

平面直角坐標(biāo)系中，將兩張全等的含90°角的三角形紙片△AOC和△DOE按如圖所示擺放在一起，相交于點(diǎn)F．
（1）若直線AC的函數(shù)解析式為y=-2x+4，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線ED的距離；
（2）在（1）的條件下，連接OF，設(shè)點(diǎn)P在x軸上，若△POF是等腰三角形，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由條件可求出OE=OC=2，OD=OA=4，在Rt△OED中由勾股定理可求出線段ED的長(zhǎng)度，利用等積法可求出點(diǎn)O到直線ED的距離；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線DE的解析式，根據(jù)解方程組，可得F點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)等腰三角形的定義，可得兩邊相等，分類討論：OF=OP，PF=OF，PO=PF，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=4，A（0，4），
當(dāng)y=0時(shí)，-2x+4=0，解得x=2，C（2，0），
OA=4，OC=3，
∵△OAC≌△ODE，
∴OE=OC=2，OD=OA=4，
由勾股定理，得DE=2

5

，
設(shè)O到ED的距離為h，
有三角形的面積，得

1

2

DEh=

1

2

OE•OD，
即h=

2×4

2 5

，
解得h=

4 5

5

；
 （2）直線DE的解析式為y=kx+b，圖象經(jīng)過(guò)（4，0）（0，2），得

4k+b=0 0+b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
直線DE的解析式為y=

1

2

x+2，
F是直線AC與DE的交點(diǎn)，得

y= 1 2 x+2 y=-2x+4

，
解得

y= 4 3 x= 4 3

，
F（

4

3

，

4

3

）．
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是（x，0），
①當(dāng)OF=OP時(shí)，|x|=

( 4 3 )2+( 4 3 )2

，即|x|=

4

3

2

，
x=±

4

3

2

，P（

4

3

2

，0），P（-

4

3

2

，0）
②當(dāng)PF=OF時(shí)，

(x- 4 3 )2+(0- 4 3 )2

=

( 4 3 )2+( 4 3 )2

，
解得x=

8

3

，P（

8

3

，0）；
③當(dāng)PO=PF時(shí)，|x|=

(x- 4 3 )2+(0- 4 3 )2

，
解得x=

4

3

，P（

4

3

，0），
綜上所述：△POF是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

4

3

2

，0），（-

4

3

2

，0），（

8

3

，0），（

4

3

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式；等腰三角形的定義，分類討論是解題關(guān)鍵．