Question

已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，1）、Q（2，-3）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）若點A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點，過點A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點B，分別過點B、A作x軸的垂線，垂足分別為C、D，且所得四邊形ABCD恰為正方形．
①求正方形ABCD的面積；
②連接PA、PD，PD交AB于點E，求證：△PAD∽△PEA．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點P、Q的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)和正方形的對稱性可知正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，2m），代入二次函數(shù)解析式求出m的值，再求出2m，然后根據(jù)正方形的面積公式列式計算即可得解；
②設(shè)AB與y軸交于點F，根據(jù)點A的坐標(biāo)求出AF、PF，然后利用兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等兩三角形相似求出△APF和△PDO相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得∠PAF=∠DPO，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DPO=∠ADP，從而得到∠PAF=∠ADP，然后利用兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似證明即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點P（0，1）與Q（2，-3），
∴

c=1 -4+2b+c=-3

，
解得：

b=0 c=1

，
∴此二次函數(shù)的解析式為y=-x²+1；

（2）①如圖，∵二次函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，
∴正方形ABCD關(guān)于y軸對稱，
設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，2m），則-m²+1=2m，
解得m₁=

2

-1，m₂=-

2

-1（舍去），
∴正方形的邊長2m=2

2

-2，
∴正方形ABCD的面積=（2

2

-2）²=12-8

2

；

②證明：設(shè)AB與y軸交于點F，
∵A（

2

-1，2

2

-2），
∴AF=

2

-1，PF=1-（2

2

-2）=3-2

2

，
∵

PF

AF

=

3-2 2

2 -1

=

2

-1，

OD

OP

=

2 -1

1

=

2

-1，
∴

PF

AF

=

OD

OP

，
又∵∠AFP=∠POD，
∴△APF∽△PDO，
∴∠PAF=∠DPO，
∵AD∥y軸，
∴∠DPO=∠ADP，
∴∠PAF=∠ADP，
又∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱軸和正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定與性質(zhì)，在第②問中求出兩三角形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．