Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6cm，AB=8cm，BC=14cm．動點(diǎn)P、Q都從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P沿C→B方向做勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動，當(dāng)P、Q其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．
（1）求CD的長；
（2）若點(diǎn)P以1cm/s速度運(yùn)動，點(diǎn)Q以2cm/s的速度運(yùn)動，連接BQ、PQ，設(shè)△BQP面積為S（cm²），點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t（s），求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）若點(diǎn)P的速度仍是1cm/s，點(diǎn)Q的速度為acm/s，要使在運(yùn)動過程中出現(xiàn)PQ∥DC，請你直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）過D點(diǎn)作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則有DH=AB=8cm，BH=AD=6cm．
∴CH=BC-BH=14-6=8cm．
在Rt△DCH中，∠DHC=90°，
∴CD==8cm．

（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t（s），則PC=t．
①當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時，過Q點(diǎn)作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，則QC=2•t．
又∵DH=HC，DH⊥BC，
∴∠C=45°．
∴在Rt△QCG中，QG=QC•sin∠C=2t×sin45°=2t．
又∵BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=BP×QG=（14-t）×2t=14t-t²．
當(dāng)Q運(yùn)動到D點(diǎn)時所需要的時間t===4．
∴S=14t-t²（0＜t≤4）．
②當(dāng)點(diǎn)Q在DA上時，過Q點(diǎn)作QG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，
則：QG=AB=8cm，BP=BC-PC=14-t，
∴S_△BPQ=BP×QG=（14-t）×8=56-4t．
當(dāng)Q運(yùn)動到A點(diǎn)時所需要的時間t===4+．
∴S=56-4t（4＜t≤4+）．
綜合上述：所求的函數(shù)關(guān)系式是：
S=14t-t²（0＜t≤4），
S=56-4t（4＜t≤4+）；

（3）要使運(yùn)動過程中出現(xiàn)PQ∥DC，
∵AD∥BC，∴CPQD是平行四邊形，
∴CP=DQ，
1•t=at-8，
∴t=①，
又∵Q點(diǎn)在AD邊上，
∴＜t≤②，
把①代入②，解得a≥1+．
故a的取值范圍是a≥1+．
分析：（1）過D點(diǎn)作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，則在Rt△DCH中，由DH、CH的長度，運(yùn)用勾股定理即可求出CD的長；
（2）由于點(diǎn)P在線段CB上運(yùn)動，而點(diǎn)Q沿C→D→A方向做勻速運(yùn)動，所以分兩種情況討論：①點(diǎn)Q在CD上；②點(diǎn)Q在DA上．針對每一種情況，都可以過Q點(diǎn)作QG⊥BC于G．由于點(diǎn)P、Q運(yùn)動的時間為t（s），可用含t的代數(shù)式分別表示BP、QG的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）令DQ=CP，Q點(diǎn)在AD邊上，求出a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了動點(diǎn)與圖形面積問題，需要通過題目的條件，分類討論，利用特殊三角形，梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．