Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．

（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；

（2）直線CD交x軸于點E，過拋物線上在對稱軸的右邊的點P，作y軸的平行線交x軸于點F，交直線CD于M，使PM=EF，請求出點P的坐標；

（3）將拋物線沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意可設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．

∵點C（0，﹣8）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴﹣8a=﹣8．

∴a=1．

∴y=（x+2）（x﹣4）

=x²﹣2x﹣8

=（x﹣1）²﹣9．

∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣8，頂點D的坐標為（1，﹣9）．

（2）如圖，

設直線CD的解析式為y=kx+b．

∴

解得：．

∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．

當y=0時，﹣x﹣8=0，

則有x=﹣8．

∴點E的坐標為（﹣8，0）．

設點P的坐標為（m，n），

則PM=（m²﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m²﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．

∵PM=EF，

∴m²﹣m=（m+8）．

整理得：5m²﹣6m﹣8=0．

∴（5m+4）（m﹣2）=0

解得：m₁=﹣，m₂=2．

∵點P在對稱軸x=1的右邊，

∴m=2．

此時，n=2²﹣2×2﹣8=﹣8．

∴點P的坐標為（2，﹣8）．

（3）當m=2時，y=﹣2﹣8=﹣10．

∴點M的坐標為（2，﹣10）．

設平移后的拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣8+c，

①若拋物線y=x²﹣2x﹣8+c與直線y=﹣x﹣8相切，

則方程x²﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x²﹣x+c=0有兩個相等的實數(shù)根．

∴（﹣1）²﹣4×1×c=0．

∴c=．

②若拋物線y=x²﹣2x﹣8+c經(jīng)過點M，

則有2²﹣2×2﹣8+c=﹣10．

∴c=﹣2．

③若拋物線y=x²﹣2x﹣8+c經(jīng)過點E，

則有（﹣8）²﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．

∴c=﹣72．

綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．