Question

下列一組方程：①x+

2

x

=3，②x+

6

x

=5，③x+

12

x

=7，…，小明通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)了其中蘊(yùn)含的規(guī)律，并順利地求出了前三個(gè)方程的解，他的解題過(guò)程如下：
由①x+

1×2

x

=1+2得x=1或x=2；
由②x+

2×3

x

=2+3得x=2或x=3；
由③x+

3×4

x

=3+4得x=3或x=4，
（1）問(wèn)題解決：請(qǐng)寫(xiě)出第四個(gè)方程，并按照小明的解題思路求出該方程的解；
（2）規(guī)律探究：若n為正整數(shù)，請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)方程及其方程的解；
（3）變式拓展：若n為正整數(shù)，求關(guān)于x的方程x+

n2+n

x-3

=2n+4的解．

Answer 1

考點(diǎn)：分式方程的解

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)已知分式方程的變化規(guī)律進(jìn)而得出第四個(gè)方程，進(jìn)而求出該方程的解；
（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出分子與后面常數(shù)的關(guān)系求出即可；
（3）利用已知解題方法得出方程的解．

解答：解：（1）由①x+

1×2

x

=1+2得x=1或x=2；
由②x+

2×3

x

=2+3得x=2或x=3；
由③x+

3×4

x

=3+4得x=3或x=4，
則第四個(gè)方程為：x+

4×5

x

=4+5，即x+

20

x

=9，
由x+

4×5

x

=4+5得：x=4或x=5；

（2）可得第n個(gè)方程為：x+

n(n+1)

x

=2n+1，
解得：x=n或x=n+1；

（3）將原方程變形，并根據(jù)變形后的方程求解，
（x-3）+

n(n+1)

x-3

=n+（n+1），
得x-3=n或x-3=n+1，
所以，x=n+3或x=n+4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解與其形式的規(guī)律是解題關(guān)鍵．