Question

已知矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6．操作：將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上．探究：
（1）如圖1，若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，你認(rèn)為△EDA₁和△FDC全等嗎？如果全等給出證明，如果不全等請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)重合，求△FCB₁和△B₁DG的周長(zhǎng)之比．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CD=AB=4，∠A=∠ABC=∠ADC=∠C=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得DA₁=BA，∠A₁=∠A=90°，∠A₁DF=∠ABC=90°，則DA₁=DC，利用等角的余角相等得到∠A₁DE=∠CDF，于是可根據(jù)“AAS”判定△EDA₁≌△FDC；
（2）由點(diǎn)B₁為CD的中點(diǎn)得到DB₁=CB₁=2，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠A₁B₁F=∠ABC=90°，F(xiàn)B₁=FB，接著利用等角的余角相等得∠DGB₁=∠CB₁F，于是可判斷△DGB₁∽△CB₁F，利用相似三角形的性質(zhì)得△FCB₁與△B₁DG的周長(zhǎng)的比=FC：B₁D；設(shè)CF=x，則BF=BC-CF=6-x，F(xiàn)B₁=6-x，在Rt△CFB₁中利用勾股定理得x²+2²=（6-x）²，解得x=

8

3

，即CF=

8

3

，所以△FCB₁與△B₁DG的周長(zhǎng)的比=

8

3

：2=4：3．

解答：解：（1）△EDA₁≌△FDC．證明如下：
∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=4，∠A=∠ABC=∠ADC=∠C=90°，
∵將矩形紙片沿EF折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，
∴DA₁=BA，∠A₁=∠A=90°，∠A₁DF=∠ABC=90°，
∴DA₁=DC，∠A₁DE=∠CDF，
在△EDA₁和△FDC中，

∠A1=∠C ∠A1DE=∠CDF DA1=DC

，
∴△EDA₁≌△FDC（AAS）；
（2）∵點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)B₁重合，
∴DB₁=CB₁=2，
∵將矩形紙片沿EF折疊，
∴∠A₁B₁F=∠ABC=90°，F(xiàn)B₁=FB，
∴∠DB₁G+∠CB₁F=90°，
而∠DB₁G+∠DGB₁=90°，
∴∠DGB₁=∠CB₁F，
∴△DGB₁∽△CB₁F，
∴△FCB₁與△B₁DG的周長(zhǎng)的比=FC：B₁D，
設(shè)CF=x，則BF=BC-CF=6-x，F(xiàn)B₁=6-x，
在Rt△CFB₁中，∵CF²+B₁C²=B₁F²，
∴x²+2²=（6-x）²，解得x=

8

3

，
即CF=

8

3

，
∴△FCB₁與△B₁DG的周長(zhǎng)的比=

8

3

：2=4：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．