Question

觀察如圖，回答下列問題：
（1）圖中的點(diǎn)被線段隔開分成了四層，則第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有

5

個(gè)點(diǎn)；
（2）若要你繼續(xù)畫下去，則第五層應(yīng)該畫

9

個(gè)點(diǎn)；
（3）如果某一層有19個(gè)點(diǎn)，那么應(yīng)該是第

10

層；
（4）第一層與第二層共有4個(gè)點(diǎn)；前三層共有9個(gè)點(diǎn)；前4層共有16個(gè)點(diǎn)，請你寫出前10層共有

100

個(gè)點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）和（2）：結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：第n層所對應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)正好是所對應(yīng)的奇數(shù)，即2n-1．
（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，列方程計(jì)算；
（4）首先正確計(jì)算出前面幾層的和，再根據(jù)得數(shù)和層數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推而廣之．

解答：解：根據(jù)題意得：
（1）第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有7個(gè)點(diǎn)；
（2）第5層應(yīng)該9個(gè)點(diǎn)，
∵每一層都比其前一層多2個(gè)點(diǎn)，
∴第n層有（2n-1）個(gè)點(diǎn)；
（3）根據(jù)2n-1=19，得n=10層；
（4）1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；
則n層的點(diǎn)數(shù)和是1+3+5+…+2n-1=n²；
當(dāng)n=10時(shí)，則有10²=100個(gè)．
故答案為：（1）5； （2）9；  （3）10；  （4）100．

點(diǎn)評：考查了規(guī)律型：圖形的變化，此題要能夠結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)每層的點(diǎn)數(shù)的規(guī)律：第n層的點(diǎn)數(shù)是對應(yīng)的奇數(shù)2n-1；前n層的點(diǎn)數(shù)和是1+3+…+2n-1=n²．