【題目】如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,AP是⊙O的切線.已知AC=4,BC=5.
(1)求證:∠PAC=∠ABC;
(2)作∠BAC的平分線,與⊙O相交于點D,與BC相交于點E,連接并延長DC,與AP相交于點F(如圖2),若AE=AC,求CF的長.
【答案】(1)見解析 。2)
【解析】(1)作直徑AQ,連接QC,根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠PAQ=90°,求出∠PAC+∠CAQ=90°,根據(jù)圓周角定理得出∠ACQ=90°,∠PAC=∠Q,即可求出答案;
(2)求出∠AEC=∠ACE,∠FAC=∠ABC,根據(jù)相似三角形的判定得出△FAC∽△ABC,得出比例式,代入求出即可.
(1)證明:
作直徑AQ,連接QC,
∵AP是⊙O的切線,
∴∠PAQ=90°,
∴∠PAC+∠CAQ=90°,
∵AQ是直徑,
∴∠ACQ=90°,
∴∠CAQ+∠Q=90°,
∴∠PAC=∠Q,
∵∠Q=∠ABC,
∴∠PAC=∠ABC;
(2)解:∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠ACF=∠ADC+∠CAD=∠ABC+∠BAD=∠AEC,
∵AE=AC,
∴∠AEC=∠ACE,
由(1)知:∠FAC=∠ABC,
∴△FAC∽△ABC,
∴=,
即=,
∴CF=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組研究我國古代《算法統(tǒng)宗》里這樣一首詩:我問開店李三公,眾客都來到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.詩中后兩句的意思是:如果每一間客房住7人,那么有7人無房可。蝗绻恳婚g客房住9人,那么就空出一間房.
(1)求該店有客房多少間?房客多少人?
(2)假設(shè)店主李三公將客房進(jìn)行改造后,房間數(shù)大大增加.每間客房收費20錢,且每間客房最多入住4人,一次性定客房18間以上(含18間),房費按8折優(yōu)惠.若詩中“眾客”再次一起入住,他們?nèi)绾斡喎扛纤悖?/span>
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點P(-3,5) 所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“武夷水秀”以特有的光影效果,吸引眾多市民前去觀看.特別是五一當(dāng)天,共演了7場,平均每場有1200人觀看,這天觀看的總?cè)藬?shù)用科學(xué)記數(shù)法可以表示為( )
A.0.12×104
B.1.2×103
C.8.4×103
D.84×102
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校未為了解學(xué)生每天參加體育鍛煉的時間情況,隨機選取該校的部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.以下是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.
組別 | A | B | C | D | E |
時間t/min | t<45 | 45≤t<60 | 60≤t<75 | 75≤t<90 | t≥90 |
人數(shù) | 12 | 18 | m | 30 | 18 |
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)被調(diào)查的學(xué)生中,每天參加體育鍛煉的時間不少于90min的有_____人,這些學(xué)生數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比為_____%,每天參加體育鍛煉的時間不足60min的有_____人;
(2)被調(diào)查的學(xué)生總數(shù)為_____人,統(tǒng)計表中m的值為_____,統(tǒng)計圖中n的值為_____,被調(diào)查學(xué)生每天參加體育鍛煉時間的中位數(shù)落在_____組;
(3)該校共有960名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計該校每天參加體育鍛煉的時間不少于60min的學(xué)生數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,邊AB的垂直平分線DE交AB于點E,交BC于點D,CD=3,則BC的長為( )
A.6
B.6
C.9
D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延長線于點E.
求證:△ACE是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在△ABC中,∠ACB=45°,AD⊥BC于點D,E為AD上一點,且DE=BD,可知AB=CE.
【類比探究】如圖②,在正方形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,E是OC上任意一點,AG⊥BE于點G,交BD于點F.判斷AF與BE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【推廣應(yīng)用】在圖②中,若AB=4,BF=,則△AGE的面積為 .
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