Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂．0），其中x₁＜x₂，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），且x₁，x₂滿足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥X軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)C（0，3），
∴當(dāng)x=0時(shí)，c=3．
又∵x₁，x₂滿足2（x₁+x₂）+x₁x₂-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得：
x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，
代入得：2b-3-1=0，
得b=2．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
又∵y=-x²，+2x+3=-（x-1）²+4
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，4）；

（2）令y=0，得：-x²+2x+3=0，解得：x₁=-1，x₂=3．
故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），B的坐標(biāo)是（3，0）．
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+n（k≠0），
∵直線y=kx+n過點(diǎn)B（3，0），D（1，4），
∴，
解得：，
∴直線BD的解析式為y=-2x+6．
∵P點(diǎn)在線段BD上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-2m+6）．
又∵PM⊥X軸于點(diǎn)M，
∴PM=-2m+6，OM=m．
∵A（1，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3．
設(shè)四邊形PMAC的面積為S，則
S=OA•OC+（PM+OC）•OM=×1×3+（-2m+6+3）•m
=-m²+m+=-（m-）²+
∵1＜＜3，
∴當(dāng)m=時(shí)，四邊形PMAC的面積最大，最大面積為，此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)（，）．
分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=b，x₁x₂=-3，進(jìn)而求出b的值，進(jìn)而利用配方法得出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而表示出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用S=OA•OC+（PM+OC）•OM結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得出最值以及P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值問題等知識(shí)，根據(jù)已知表述出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．