Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側有定點C和動點P，已知BC：CA=4：3，點P在弧AB上運動．
（1）當點P與點C關于AB對稱時，求CP的長；
（2）當點P運動到弧AB的中點時，求CP的長；
（3）點P在弧AB上運動時，求CP的長的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點P與點C關于AB對稱，根據(jù)垂徑定理，即可得CD=PD，又由AB為⊙O的直徑，即可得∠ACB是直角，然后根據(jù)勾股定理與相交弦定理，即可求得CP的長；
（2）首先連接PB，過點B作BE⊥PC于點E，由點P運動到弧AB的中點，根據(jù)圓周角定理，即可求得PB的長，∠BCP的度數(shù)，由勾股定理，求得BE的長，繼而求得CP的長；
（3）由點P在弧AB上運動時，恒有 CP＞CA，當CP過圓心O，即PC取最大值10，則可求得CP的長的取值范圍．

解答：解：（1）∵點P與點C關于AB對稱，
∴CP⊥AB，設垂足為D．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC•BC=AB•CD，
∴CD=4.8，
∴CP=2CD=9.6；

（2）當點P運動到弧AB的中點時，連接PB，過點B作BE⊥PC于點E．
∵P是弧AB的中點，
∴AP=BP=5

2

，∠ACP=∠BCP=45°，
∵BC=8，
∴CE=BE=4

2

，
∴PB=5

2

，
∴PE=

PB2-BE2

=3

2

，
∴CP=CE+PE=7

2

；

（3）點P在弧AB上運動時，恒有 CP＞CA，
即CP＞6，
當CP過圓心O，即PC取最大值10，
∴CP的取值范圍是6＜CP≤10．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及相交弦定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是數(shù)形結合思想的應用，注意輔助線的作法．