【題目】如圖,已知ABC中,C=90°,點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)B停止運(yùn)動,在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,過點(diǎn)M作直線MN交AC于點(diǎn)N,且保持NMC=45°,再過點(diǎn)N作AC的垂線交AB于點(diǎn)F,連接MF,將MNF關(guān)于直線NF對稱后得到ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動時間為t(s),ENF與ANF重疊部分的面積為y(cm2).

(1)在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,能否使得四邊形MNEF為正方形?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說明理由;

(2)求y關(guān)于t的函數(shù)解析式及相應(yīng)t的取值范圍;

(3)當(dāng)y取最大值時,求sinNEF的值.

【答案】(1);(2);(3)

【解析】

試題分析:(1)由已知得出CN=CM=t,F(xiàn)NBC,得出AN=8﹣t,由平行線證出ANF∽△ACB,得出對應(yīng)邊成比例求出NF=AN=(8﹣t),由對稱的性質(zhì)得出ENF=MNF=NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,由正方形的性質(zhì)得出OE=ON=FN,得出方程,解方程即可;

(2)分兩種情況:當(dāng)0t2時,由三角形面積得出 ;

當(dāng)2t4時,作GHNF于H,由(1)得:NF=(8﹣t),GH=NH,GH=2FH,得出GH=NF=(8﹣t),由三角形面積得出(2t4);

(3)當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時,y取最大值,連接EM,則EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,得出方程,解方程求出CN=CM=2,AN=6,得出BM=2,NF=AN=3,因此EM=2BM=4,作FDNE于D,由勾股定理求出EB= =,求出EF=EB=,由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得出DF= HF=,在RtDEF中,由三角函數(shù)定義即可求出sinNEF的值.

試題解析:(1)能使得四邊形MNEF為正方形;理由如下:

連接ME交NF于O,如圖1所示:

∵∠C=90°,NMC=45°,NFAC,CN=CM=t,F(xiàn)NBC,AN=8﹣t,ANF∽△ACB, =2,NF=AN=(8﹣t),由對稱的性質(zhì)得:ENF=MNF=NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,四邊形MNEF是正方形,OE=ON=FN,t=×(8﹣t),解得:t=

即在點(diǎn)M的運(yùn)動過程中,能使得四邊形MNEF為正方形,t的值為;

(2)分兩種情況:

當(dāng)0t2時,y=×(8﹣t)×t=,即(0t2);

當(dāng)2t4時,如圖2所示:作GHNF于H,由(1)得:NF=(8﹣t),GH=NH,GH=2FH,GH=NF=(8﹣t),y=NF′GH=×(8﹣t)×(8﹣t)=,即(2t4);

綜上所述:

(3)當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上時,y取最大值,連接EM,如圖3所示:

則EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,BM=4﹣t,2t=2(4﹣t),解得:t=2,CN=CM=2,AN=6,BM=4﹣2=2,NF=AN=3,EM=2BM=4,作FDNE于D,則EB= = =,DNF是等腰直角三角形,EF=EB=,DF= HF=,在RtDEF中,sinNEF= = =

練習(xí)冊系列答案
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(1)每臺大型收割機(jī)和每臺小型收割機(jī)1小時收割小麥各多少公頃?

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