Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°.

(1)先作∠ACB的平分線；設它交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB為半徑作⊙O(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)證明：AC是所作⊙O的切線；

(3)若BC＝，∠A＝30°，求△AOC的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)角平分線的作法求出角平分線FC，進而得出⊙O；

（2）根據(jù)切線的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；

（3）根據(jù)銳角三角函數(shù)的關系求出AC，EO的長，即可得出答案．

（1）解：如圖所示：

（2）證明：過點O作OE⊥AC于點E，

∵FC平分∠ACB，

∴OB=OE，

∴AC是所作⊙O的切線；

（3）解：∵∠A=30°，∠ABC=90°

∴∠ACO=∠OCB=∠ACB=30°，

∵BC=，

∴AC=2，BO=tan30°BC==1，

∴△AOC的面積為：×AC×OE=×2×1=．