Question

在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)的圖象可以看作是將x軸所在的直線繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度角后的圖形，若它與反比例函數(shù)y=的圖象分別交于第二，四象限的點(diǎn)B，D，已知A（-m，0），C（m，0）．
（1）直接判斷并填寫(xiě)：不論x取何值，四邊形ABCD的形狀一定是______：
（2）①當(dāng)點(diǎn)B為（k，3）時(shí)，四邊形ABCD是矩形，試求k，a和m的值．
②觀察猜想：對(duì)①中的m 值，能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有幾個(gè)？并求出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）試探究：四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫(xiě)出B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；

（2）①把點(diǎn)B（k，3）代入y=，解得：k=-，
過(guò)B作BE⊥x軸于E，則OE=，EB=3，
∵在Rt△BOE中，tanα===，
∴α=60°，
∴OB=2．
又∵點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)B、D關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，
∴OB=OD=2．
∵四邊形ABCD為矩形，且A（-m，0），C（m，0）
∴OA=OB=OC=OD=2
∴m=2；

②當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)B（x，）則x＜0，
∵OB=2，
∴x²+（）²=（2）²，
解得x=±3或±，
∵x＜0，
∴x=-或-3，
②能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有2個(gè)；，

（3）四邊形ABCD不能是菱形．理由如下：
若四邊形ABCD為菱形，則對(duì)角線AC⊥BD，且AC與BD互相平分，
因?yàn)辄c(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（-m，0）、（m，0），
所以點(diǎn)A、C關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，且AC在x軸上，
所以BD應(yīng)在y軸上，
這與“點(diǎn)B、D分別在第二、四象限”矛盾，
所以四邊形ABCD不可能為菱形．
分析：（1）由于反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，點(diǎn)B、D是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所以點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，則OB=OD，又OA=OC，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得出四邊形ABCD的形狀；
（2）①把點(diǎn)B（k，3）代入y=，即可求出k的值；過(guò)B作BE⊥x軸于E，在Rt△BOE中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求出tanα的值，得出α的度數(shù)；要求m的值，首先解Rt△BOE，得出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)進(jìn)行的對(duì)角線相等得出OA=OB=OC=OD，從而求出m的值；
②當(dāng)m=2時(shí)，設(shè)B（x，）則x＜0，由OB=2，得出x²+（）²=（2）²，解此方程，得x=±3或± 滿(mǎn)足條件的x的值有兩個(gè)，故能使四邊形ABCD為矩形的點(diǎn)B共有兩個(gè)；
（3）假設(shè)四邊形ABCD為菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線垂直且互相平分，可知AC⊥BD，且AC與BD互相平分，又AC在x軸上，所以BD應(yīng)在y軸上，這與“點(diǎn)B、D分別在第二、四象限”矛盾，所以四邊形ABCD不可能為菱形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形、菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形．