Question

如圖，若DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，延長(zhǎng)BD交AF于點(diǎn)G，且DC=BD，∠ADG=120°，則下列結(jié)論正確的是：

 

（填序號(hào)即可）．
①∠GAB=60°；②∠BGF=120°；③AD=GD；④CG=AB．

Answer 1

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)

專題：

分析：先根據(jù)DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，DC=BD得出AD是∠GAE的平分線，再由∠ADG=120°求出∠ADB的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，進(jìn)而可得出∠GAB的度數(shù)；同理可得出∠AGB的度數(shù)，由平角的定義得出∠BGF的度數(shù)；根據(jù)∠AGD與∠GAD相等可得出AD=GD；先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AC=CG，再由全等三角形的性質(zhì)得出△ACD≌△ABD，故可得出AB=AC，由此可得出結(jié)論．

解答：解：∵DB⊥AE于B，DC⊥AF于C，DC=BD，
∴AD是∠GAE的平分線，
∴∠GAD=∠BAD．
∵∠ADG=120°，
∴∠ADB=180°-120°=60°，
∴∠BAD=90°-60°=30°，
∴∠GAB=2∠BAD=60°，故①正確；
∵DB⊥AE，
∴∠AGB=90°-∠GAB=90°-60°=30°，
∴∠BGF=180°-∠AGB=180°-30°=120°，故②正確；
∵由①、②知，∠CAD=∠AGB=30°，
∴AD=GD，故③正確；
∵AD=GD，DC⊥AF于C，
∴CD是AG的垂直平分線，
∴AC=CG．
在Rt△ACD與Rt△ABD中，

AD=AD CD=BD

∴△ACD≌△ABD（HL），
∴AB=AC，
∴CG=AB，故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．