Question

如圖1，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，∠DEF=45°且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點(diǎn)P，Q.

（1）如圖2，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，將∠DEF繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，DE與邊AB交于點(diǎn)P，EF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.設(shè)BP為x，CQ為y，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）如圖3，點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)（不與B，C重合），且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與邊AC交于Q點(diǎn)．探究：在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）， 0＜x＜1；（2）能，此時(shí)BE的長(zhǎng)為或

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理得到∠B=∠C，，再由，可證得△BPE∽△CEQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)BP為x，CQ為y，即得，從而可以求得結(jié)果；

（2）由∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C可得AE≠AQ ，當(dāng)AE=EQ時(shí)，可證△ABE≌ECQ，即可得到CE=AB=2，從而可以求得BE的長(zhǎng)；當(dāng)AQ=EQ時(shí)，可知∠QAE=∠QEA=45°，則可得AE⊥BC ，即得點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，從而可以求得BE的長(zhǎng)..

（1）∵∠BAC=90°，AB=AC=2

∴∠B=∠C，

又∵，

∴∠DEB=∠EQC

∴△BPE∽△CEQ

∴

設(shè)BP為x，CQ為y

∴

∴，自變量x的取值范圍是0＜x＜1；

（2）∵∠AEF=∠B=∠C且∠AQE＞∠C

∴∠AQE＞∠AEF

∴AE≠AQ

當(dāng)AE=EQ時(shí)，可證△ABE≌ECQ

∴CE=AB=2

∴BE=BC-EC=

當(dāng)AQ=EQ時(shí)，可知∠QAE=∠QEA=45°

∴AE⊥BC

∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).

∴BE=                

綜上，在∠DEF運(yùn)動(dòng)過程中，△AEQ能成等腰三角形，此時(shí)BE的長(zhǎng)為或.

考點(diǎn)：相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，注意對(duì)應(yīng)字母在對(duì)應(yīng)位置上.