Question

【題目】如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”．例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個“和諧數(shù)”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和諧數(shù)”．
（1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”；請你猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被11整除？并說明理由；
（2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設(shè)其個位上的數(shù)字x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）

任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整除，理由如下：

設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為： ，則滿足：

最高位到個位排列：a，b，c，d．

個位到最高位排列：d，c，b，a．

由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：a=d，b=c，

則 = = =91a+10b為正整數(shù)．

∴四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù)，

又∵a，b，c，d為任意自然數(shù)，

∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除

（2）解：設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為： ，則滿足：

個位到最高位排列：x，y，z．

最高位到個位排列：z，y，x．

由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則：x=z，

故 = =101x+10y，

故 = = =9x+y+ 為正整數(shù)．

故y=2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）

【解析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義（把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同）寫出四個“和諧數(shù)”，設(shè)任意四位“和諧數(shù)”形式為： ，根據(jù)和諧數(shù)的定義得到a=d，b=c，則 = = =91a+10b為正整數(shù)，易證得任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除；（2）設(shè)能被11整除的三位“和諧數(shù)”為： ，則 = = =9x+y+ 為正整數(shù)．故y=2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）．