Question

如圖，點A的坐標(biāo)為（-1，0），點B的坐標(biāo)為（4，0），以AB為直徑⊙O，交y軸的負(fù)半軸于點C．若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A，C，B．已知點P是該拋物線上的動點，當(dāng)∠APB是直角時，則滿足要求的點P坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點：圓周角定理,二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：

分析：首先連接O′C，由垂徑定理可求得OC的長，即可求得點C的坐標(biāo)，然后由∠APB是直角，可知點P位于⊙O′與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的交點處，由對稱性即可求得答案．

解答：解：如圖，連接O′C，
∵點A的坐標(biāo)為（-1，0），點B的坐標(biāo)為（4，0），以AB為直徑⊙O，交y軸的負(fù)半軸于點C，
∴AB=5，
∴O′A=2.5，OO′=1.5，
∴OC=

O′C2-OC′2

=2，
∴點C的坐標(biāo)為：（0，-2），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A，C，B，
∴二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸為：x=1.5，
∴點C的對稱點為：（3，-2），
∵∠APB是直角，AB是直徑，
∴點P位于⊙O′與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的交點處，
即C（0，-2），（3，-2）．
故答案為：（0，-2），（3，-2）．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．