Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=Rt∠，AB=10cm，BC=6cm，點P從點C開始沿邊CB以2cm/s的速度向點B移動，與此同時，點Q從點A開始沿邊AC以1cm/s的速度向點C移動，兩點同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止移動．若設(shè)移動時間為t秒．
（1）當(dāng)t=1時，求PQ的長；
（2）在整個移動過程中，是否存在某一時刻t，使直線PQ平分△ABC的面積？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）在整個移動過程中，當(dāng)t=

 

秒時，P、Q兩點相距最近，最近的距離是

 

cm．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）利用勾股定理求得AC的長，在直角△CPQ中利用勾股定理即可求解；
（2）直線PQ平分△ABC的面積，則S_△CPQ=

1

2

S_△ABC，據(jù)此即可列方程求得t的值；
（3）根據(jù)勾股定理，利用t表示出PQ²的長，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AC=

102-62

=8，
則當(dāng)t=1時，CP=2，CQ=AC-AQ=7，
∴PQ=

72+22

=

53

（cm）；
（2）假設(shè)存在，則

1

2

×2t×(8-t)=

1

2

×

1

2

×6×8，
解得：t₁=2，t₂=6，
因為0≤t≤3，所以存在，此時t=2．
（3）PQ²=（2t）²+（8-t）²=5t²-16t+64，
則t=-

-16

10

=

8

5

時，PQ²取得最小值，是

4×5×64-162

20

=

256

5

，則PQ的最小值是

256 5

=

16 5

5

．
故答案是：

8

5

，

16

5

5

．

點評：本題考查了勾股定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題中的最值問題．