Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且∠CEF=∠ACB.

（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）說(shuō)明△AEF與△DCE相似；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）AC=20.        D（12,0）

（2）見解析

（3）E的坐標(biāo)為或.

【解析】

試題分析：（1）利用矩形的性質(zhì)，在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)求出AC、BC的長(zhǎng)度，從而得到A點(diǎn)坐標(biāo)；由點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，從而問題解決；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：

①當(dāng)CE=EF時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為1，則有AE=CD；

②當(dāng)EF=FC時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為，則有AE=CD；

③當(dāng)CE=CF時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)與A點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于第（3）問，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解．