【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx-5x軸交于A-1,0),B5,0)兩點,與y軸交于點C

1)求拋物線的函數(shù)表達式;

2)如圖2,CEx軸與拋物線相交于點E,點H是直線CE下方拋物線上的動點,過點H且與y軸平行的直線與BC,CE分別交于點FG,試探究當點H運動到何處時,四邊形CHEF的面積最大,求點H的坐標及最大面積;

3)若點K為拋物線的頂點,點M4m)是該拋物線上的一點,在x軸,y軸上是否存在點P,Q,使四邊形PQKM的周長最小,若沒有,說明理由;若有,求出點P,Q的坐標.

【答案】1y=x2-4x-5;(2H,),面積最大為;(3)存在,P,0),Q0,-).

【解析】

1)根據(jù)待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式即可;

2)設Ht,t24t5),求出直線BC的解析式,即可表示出點F的坐標,進而求出四邊形CHEF的面積與t的函數(shù)關系式,利用二次函數(shù)求最值即可;

3)利用對稱性找出點P,Q的位置,進而求出P,Q的坐標.

解:(1)∵點A(﹣1,0),B50)在拋物線yax2+bx5上,

解得,

∴拋物線的表達式為yx24x5,

2)設Htt24t5),

CEx軸,

∴點E的縱坐標為﹣5,

E在拋物線上,

x24x5=﹣5,

x0(舍)或x4,

E4,﹣5),

CE4,

設直線BC的解析式為y=kxc

B5,0),C0,﹣5)代入,得

解得:

∴直線BC的解析式為yx5

Ft,t5),

HFt5﹣(t24t5)=﹣(t2+,

CEx軸,HFy軸,

CEHF,

S四邊形CHEFCEHF=﹣2t2+,

-20

∴當t=時,S四邊形CHEF最大,最大值為

H,﹣);

3)如圖2,四邊形PQKM的周長=PMPQQKKM(其中KM為定值)

K為拋物線的頂點,y=x2-4x-5=x-22-9

K2,﹣9),

K關于y軸的對稱點K′(﹣2,﹣9),

M4,m)在拋物線上,

m=16-16-5=-5

M4,﹣5),

∴點M關于x軸的對稱點M′4,5),

連接K′M′,分別交x軸于點P,交y軸于點Q

∴此時PM=PM′,QK=QK′

∴此時四邊形PQKM的周長=PMPQQKKM= PM′PQ QK′KM=M′K′KM,根據(jù)兩點之間線段最短,此時四邊形PQKM的周長最小

設直線K′M′的解析式為yexd

K′M′的坐標代入,得

解得:

∴直線K′M′的解析式為y,

y=0時,解得x=;當x=0時,解得y=

P0),Q0,﹣).

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頻數(shù)分布表

組別

時間/小時

頻數(shù)/人數(shù)

A

0≤1

2

B

1≤2

m

C

2≤3

10

D

3≤4

12

E

4≤5

7

F

≥5

4

扇形統(tǒng)計圖

請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題:

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