Question

已知正方形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于O．
（1）若E是AC上的點(diǎn)，過(guò)AC作AG⊥BE于G，AG、BD交于F，如圖，試判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你判斷的理由．

（2）若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥EB交EB的延長(zhǎng)線于G，AG的延長(zhǎng)線交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖，上述結(jié)論是否還成立嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）OE=OF，
∵正方形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠OAF+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EBO+∠BFG=90°，
∵∠BFG=∠AFO，
∴∠OAF=∠EBO，
∵∠AOF=∠BOE，AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．

（2）OE=OF還成立，
∵正方形ABCD中對(duì)角線AC、BD相交于O，
∴AC⊥BD，
∴∠OAF+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠BEO+∠EAG=90°，
∴∠AFO=∠BEO，
∵∠AOF=∠BOE，AO=BO，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．
分析：（1）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，利用ASA判定△AOF≌△BOE，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．
（2）圖形雖然有變化，但仍可利用第一問(wèn)的方法來(lái)證明△AOF≌△BOE，從而得到OE=OF．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定方法的理解及運(yùn)用能力．