Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO中，通過兩次全等變換得到Rt△COD，且B（0，2）、C（0，-1），拋物線y=ax²+bx+c過A、C、D三點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△POD的外心在OD上？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由；
（3）點E是拋物線的對稱軸上一點，若四邊形AODE是菱形，求E點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)B、C的坐標，可得到OB、OC的長，由于△AOB≌△ODC，即可得到CD、AB的值，從而求得A、D兩點的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．
（2）若△POD的外心在OD上，那么△POD必是直角三角形，且∠OPD=90°，設(shè)拋物線對稱軸交x軸于M點，交CD于N點，設(shè)出點P的坐標，通過證Rt△POM∽Rt△DNP，根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得P點的坐標．
（3）假設(shè)存在符合條件的E點，過A作AF⊥拋物線對稱軸于F，若四邊形AODE是菱形，則可證得△AEF≌△EDN，根據(jù)AF=NE即可求得NE的長，從而得到點E的坐標．
解答：解：（1）易知OB=CD=2，OC=AB=1；
由于B（0，2）、C（0，-1），
故A（1，2），D（-2，-1）；
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，則有：
，
解得；
故y=x²+2x-1．

（2）若△POD的外心在OD上，則∠OPD=90°；
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點為M，與CD的交點為N，
設(shè)P點的坐標為（-1，t）；
由于∠DPN=POM=90°-∠OPM，∠DNP=∠PMO=90°，
則：Rt△POM∽Rt△DNP，得：
t（t+1）=1，．
故存在點P，使△POD的外心在OD上．
P點坐標為或．

（3）假設(shè)存在符合條件的點E，設(shè)E（-1，m）；
則FE=2-m，EN=m+1；
若四邊形AODE是菱形，則AE=DE，AE∥OD；
易知證得△ODC≌△EAF，△EDN≌△OAB，
已知△OAB≌△ODC，則△AEF≌△EDG；
故EF=DN=1，EN=AF=2，
所以m=1，
即點E的坐標為（-1，1）．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外心、菱形的判定和性質(zhì)等重要知識點，綜合性強，難度較大．