Question

正方形ABCD的四點在☉O上，若P是弧AB上一點，請確定PA+PC與PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：正多邊形和圓,全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：如圖，首先證明∠APD=∠DPC=45°，借助余弦定理證明λ2-

2

PD•λ+PD2-γ2=0①μ2-

2

PD•μ+PD2-γ2=0②，得到λ、μ為方程x2-

2

PD•x+PD2-γ2=0的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得到λ+μ=

2

PD，即可解決問題．

解答：解：設(shè)PA=λ，PC=μ，正方形ABCD的邊長為γ；
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，
∴

AD

=

CD

=

1

4

⊙O的周長，
∴∠APD=∠DPC=45°；
由余弦定理得：
γ²=λ²+PD²-2λPD•cos45°，
∴λ2-

2

PD•λ+PD2-γ2=0①，
同理可求：
μ2-

2

PD•μ+PD2-γ2=0②，
由①、②知：
λ、μ為方程x2-

2

PD•x+PD2-γ2=0的兩個實數(shù)根，
∴λ+μ=

2

PD．
即PA+PC=

2

PD．

點評：該題主要考查了圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用有關(guān)定來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．