Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=45°，BC=1，⊙O是△ABC的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P．
（1）求⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）求∠P的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：（1）連結(jié)OC、OA、OC，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠AOC=2∠ABC=90°，則△OAC為等腰直角三角形，所以O(shè)C=

2

2

AC=1；
（2）連結(jié)OB，如圖，先判斷△OBC為等邊三角形，則∠BOC=60°，根據(jù)圓周角定理得∠BAC=

1

2

∠BOC=30°，再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得∠OAP=90°，則可計(jì)算出∠PAC=90°-∠OAC=45°，所以∠BAP=∠BAC+∠PAC=75°，然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算∠P的度數(shù)．

解答：解：（1）連結(jié)OC、OA、OC，如圖，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∴OC=

2

2

AC=

2

2

•

2

=1，
即⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）連結(jié)OB，如圖，
∵OB=OC=1，
而B(niǎo)C=1，
∴OB=BC=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=30°，
∵PA為⊙O的切線(xiàn)，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠PAC=90°-∠OAC=90°-45°=45°，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=30°+45°=75°，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-75°-45°=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．