Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=45°，BC=1，⊙O是△ABC的外接圓，過點A作⊙O的切線，交BC的延長線于點P．
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求∠P的度數．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：計算題

分析：（1）連結OC、OA、OC，如圖，根據圓周角定理得∠AOC=2∠ABC=90°，則△OAC為等腰直角三角形，所以OC=

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AC=1；
（2）連結OB，如圖，先判斷△OBC為等邊三角形，則∠BOC=60°，根據圓周角定理得∠BAC=

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∠BOC=30°，再根據切線的性質得∠OAP=90°，則可計算出∠PAC=90°-∠OAC=45°，所以∠BAP=∠BAC+∠PAC=75°，然后利用三角形內角和計算∠P的度數．

解答：解：（1）連結OC、OA、OC，如圖，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=90°，
∴△OAC為等腰直角三角形，
∴OC=

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AC=

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•

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=1，
即⊙O的半徑長；
（2）連結OB，如圖，
∵OB=OC=1，
而BC=1，
∴OB=BC=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

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∠BOC=30°，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∴∠PAC=90°-∠OAC=90°-45°=45°，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=30°+45°=75°，
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-75°-45°=60°．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了圓周角定理．