Question

閱讀材料：如圖1，過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線(xiàn)垂直的三條直線(xiàn)，外側(cè)兩條直線(xiàn)之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線(xiàn)在△ABC內(nèi)部線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高”（h）．我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．
解答下列問(wèn)題：
如圖2，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)（在第一象限內(nèi)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)B為拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，求直線(xiàn)AB的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸分別交AB、x軸于點(diǎn)D、M，連接PA、PB，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)C時(shí)，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（4）在（2）的條件下，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h、面積為S，請(qǐng)分別寫(xiě)出h和S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）由已知條件得出圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)，由頂點(diǎn)式求出
（2）利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)解析式，
（3）找出三角形的底與高，即可求出三角形的面積，
（4）用x表示出鉛垂高為h，即可解決．

解答：解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3

（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為：y₂=kx+b
由y₁=-x²+2x+3求得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3

（3）因?yàn)镃點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）
所以當(dāng)x=1時(shí)，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方單位）

（4）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
S=-

3

2

x2+

9

2

x ．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，以及待定系數(shù)法求解析式和三角形面積求法，綜合性較強(qiáng)．