Question

受全球金融風(fēng)暴的影響，外出打工的小張所在的工廠倒閉．他今年回家承包了茶園50畝，其中丘陵地30畝，另外是山地．已知每畝丘陵地產(chǎn)量y₁（千克）與投資x（百元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y₁₌

- 1 4 (x-8)2+36 ;(0≤x≤6) 35 ;(x＞6)

；每畝山地產(chǎn)量y₂（千克）與投資t（百元）之間函數(shù)關(guān)系式為：y₂₌

3t+15 ;(0≤t≤6) 33 ;(t＞6)

小張現(xiàn)有總投資240（百元）．
（1）寫(xiě)出小張家茶葉總產(chǎn)量w（千克）與丘陵地每畝投資x（百元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取之范圍．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，總產(chǎn)量最高？最高產(chǎn)量為多少千克？
（3）在（2）的條件下，如果其中600千克為毛尖茶，其余為龍井茶．現(xiàn)在由鄉(xiāng)政府統(tǒng)一組織向外銷(xiāo)售，且包裝要求及價(jià)格如表：

型號(hào)	A型包裝	B型包裝	C型包裝
每盒裝	毛尖1千克	龍井1千克	毛尖0.4千克；龍井0.6千克
每盒價(jià)格	45元	60元	56元

應(yīng)如何安排包裝，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？（利潤(rùn)=銷(xiāo)售總價(jià)格-總投資資金）

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）先用x表示出每畝山地的投資，再根據(jù)條件求出x的取值范圍，由總產(chǎn)量=丘陵的總產(chǎn)量+山地的總產(chǎn)量，再分情況討論就可以求出結(jié)論；
（2）由（1）的解析式及自變量的取值范圍求出分別求出最大值即可；
（3）設(shè)總利潤(rùn)為m元，A型包裝a盒，C型包裝

600-a

0.4

盒，B型包裝有（1020-

600-a

0.4

×0.6）盒，由利潤(rùn)=銷(xiāo)售總價(jià)格-總投資資金就可以表示出m與a的關(guān)系式即可．

解答：解：（1）∵丘陵地每畝投資x（百元），
∴30畝丘陵的總投資為30x百元，
∴20畝山地的總投資為（240-30x）百元，
∴每畝山地的投資為：t=

240-30x

20

=

24-3x

2

百元．
當(dāng)

0≤x≤6 0≤ 24-3x 2 ≤6

時(shí)，
即4≤x≤6時(shí)，
W=30[-

1

4

（x-8）2+36]+20（3×

24-3x

2

+15）
W=-

15

2

x²+30x+1620；
當(dāng)

0≤x≤6 24-3x 2 ＞6

時(shí)，
即0≤x＜4時(shí)，
W=30[-

1

4

（x-8）2+36]+20×33，
W=-

15

2

（x-8）²+1740；
當(dāng)

x＞6 0≤ 24-3x 2 ≤6

時(shí)，
即6＜x≤8時(shí)，
W=30×35+20（3×

24-3x

2

+15）
W=-90x+2070；
當(dāng)

x＞6 24-3x 2 ＞6

時(shí)，此不等式組無(wú)解．
綜上所述，W=

- 15 2 (x-8)2+1740(0≤x＜4) - 15 2 x2+30x+1620(4≤x≤6) -90x+2070(6＜x≤8)

；
（2）由題意，得
當(dāng)0≤x＜4時(shí)，W的最大值小于1620，
當(dāng)4≤x≤6時(shí)，W=-

15

2

（x-2）²+1650，x=4時(shí)．W的最大值=1620；
當(dāng)6＜x≤8時(shí)，W的最大值小于1530，
∴x=4時(shí)，總產(chǎn)量最高，最高產(chǎn)量為1620千克．
（3）設(shè)總利潤(rùn)為m元，A型包裝a盒，C型包裝

600-a

0.4

盒，B型包裝有（1020-

600-a

0.4

×0.6）盒，由題意，得
m=45a+56×

600-a

0.4

+60（1020-

600-a

0.4

×0.6）-24000，
m=-5a+67200．
∴k=-5＜0，
∴a=0時(shí)，m最大=67200元，
∴A型包裝0盒，B型包裝120盒，C型包裝1500盒，最大利潤(rùn)為67200元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元一次不等式組的運(yùn)用，分類(lèi)討論的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．