Question

如圖，拋物線y=

1

3

x2-mx+n與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，均以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿BA、CO方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到A時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），△APQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
[提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸
是x=-

b

2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)]．

Answer 1

分析：（1）將A和C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，得到關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，進(jìn)而確定出拋物線解析式，令拋物線解析式中y=0，得到關(guān)于x的方程，求出方程的解并根據(jù)B的位置即可求出B的坐標(biāo)；
（2）分三種情況考慮：①當(dāng)0≤t＜4時(shí)（如圖1），AP=AB-BP=8-t，OQ=OC-CQ=4-t，三角形APQ為AP為底邊，OQ為AP邊上的高，利用三角形的面積公式表示出S與t的關(guān)系式；②當(dāng)4＜t＜8時(shí)（如圖2），AP=8-t，OQ=CQ-OC=t-4，
同理可得出S與t的關(guān)系式；③當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)A、P、Q三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形；當(dāng)t=8時(shí)，點(diǎn)A、P重合，點(diǎn)A、P、Q不構(gòu)成三角形，綜上，得到滿足題意的S與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）依題意將C（0，-4），與A（-2，0），
代入得：

n=-4 4 3 +2m+n=0

，
解得：m=

4

3

，n=-4，
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

4

3

x-4，
由

1

3

x²-

4

3

x-4=0，解得：x=-2或x=6，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，
∴B（6，0）；

（2）分三種情況考慮：
①當(dāng)0≤t＜4時(shí)（如圖1），AP=AB-BP=8-t，OQ=OC-CQ=4-t，
此時(shí)S=

1

2

AP•OQ=

1

2

（8-t）（4-t）=

1

2

t²-6t+16；
②當(dāng)4＜t＜8時(shí)（如圖2），AP=8-t，OQ=CQ-OC=t-4，
此時(shí)S=

1

2

AP•OQ=

1

2

（8-t）（t-4）=-

1

2

t²+6t-16；
③當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)A、P、Q三點(diǎn)共線，不構(gòu)成三角形；
當(dāng)t=8時(shí)，點(diǎn)A、P重合，點(diǎn)A、P、Q不構(gòu)成三角形，
綜上，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=

1 2 t2-6t+16(0≤t＜4) - 1 2 t2+6t-16(4＜t＜8)

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，以及動(dòng)點(diǎn)問題，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，分類討論時(shí)考慮問題要全面，要做到不重不漏．