Question

【題目】如圖：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，點(diǎn)E在BC上，且BE=2，點(diǎn)P在ABC的平分線(xiàn)BD上運(yùn)動(dòng)，則PE+PC的長(zhǎng)度最小值為（）


A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】作點(diǎn)E關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接E'C，如下圖：

∵BD是∠ ABC的平分線(xiàn)，
∴通過(guò)作圖知，BP垂直平分EE'，
∴PE'=PE
∴此時(shí)PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的長(zhǎng)度最小，
∵點(diǎn)E、點(diǎn)E'關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)，∴BE'=BE=2，
又∵AB=4，∴點(diǎn)E'是AB中點(diǎn)，CE'是中線(xiàn).
∵△ABC中， ∠ ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ ABC=45，
∴CE'又是底邊AB的高，
∴△BE'C也是等腰直角三角形，
∴E'C=2，
即：PE+PC的長(zhǎng)度最小值為2.
故選B.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的“三線(xiàn)”和軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握1、三角形角平分線(xiàn)的三條角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，是三角形內(nèi)切圓的圓心，稱(chēng)為內(nèi)心);2、三角形中線(xiàn)的三條中線(xiàn)線(xiàn)交于一點(diǎn)(交點(diǎn)在三角形內(nèi)部，是三角形的幾何中心，稱(chēng)為中心);3、三角形的高線(xiàn)是頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離；注意：三角形的中線(xiàn)和角平分線(xiàn)都在三角形內(nèi)；已知起點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；與確定起點(diǎn)相反，已知終點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，求最短路徑；已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求兩結(jié)點(diǎn)之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．